题目

题型：解答题难度：一般来源：山东省月考题

已知定义在实数集R上的奇函数f（x）有最小正周期2，且当x∈（0，1）时，，
（Ⅰ）求函数f（x）在（-1，1）上的解析式；
（Ⅱ）判断f（x）在（0，1）上的单调性；
（Ⅲ）当λ取何值时，方程f（x）=λ在（-1，1）上有实数解？

答案

解：（Ⅰ）∵f（x）是x∈R上的奇函数，
∴f（0）=0，
设x∈（-1，0），则-x∈（0，1），，
∴，
。
（Ⅱ）设，
，
∵，
∴，
∴，
∴f（x）在（0，1）上为减函数。
（Ⅲ）∵f（x）在（0，1）上为减函数，
∴，
 同理，f（x）在（-1，0）上时，，
又f（0）=0，
当时，
方程f（x）=λ在x∈（-1，1）上有实数解。