题目

题型：解答题难度：一般来源：上海月考题

如图1，OA，OB是某地一个湖泊的两条互相垂直的湖堤，线段CD和曲线段EF分别是湖泊中的一座栈桥和一条防波堤。为观光旅游的需要，拟过栈桥CD上某点M分别修建与OA，OB平行的栈桥MG、MK，且以MG、MK为边建一个跨越水面的三角形观光平台MGK。建立如图2所示的直角坐标系，测得线段CD的方程是x+2y=20（0≤x≤20），曲线段EF的方程是xy=200（5≤x≤40），设点M的坐标为（s，t），记z=s·t。
（题中所涉及的长度单位均为米，栈桥和防波堤都不计宽度）
（1）求z的取值范围；
（2）试写出三角形观光平台MGK面积S_△MGK关于z的函数解析式，并求出该面积的最小值。

答案

解：（1）由题意，得M（s，t）在线段CD：x+2y（0≤x≤20）上，即s+2t=20，
又因为过点M要分别修建与OA、OB平行的栈桥MG、MK，
所以，
，
 所以z的取值范围是。
（2）由题意，得，
所以，
则，
因为函数单调递减，
所以当z=50时，三角形观光平台的面积取最小值为225平方米。