题目

题型：填空题难度：简单来源：不详

给出下列四个结论：
①已知△ABC中，三边a，b，c满足（a+b+c）（a+b-c）=3ab，则∠C等于120°．
②若等差数列a_n的前n项和为S_n，则三点(10，

S10

10

)，(100，

S100

100

)，(110，

S110

110

)共线．
③等差数列a_n中，若S₁₀=30，S₂₀=100，则S₃₀=210．
④设f(x)=

1

2x+ 2

，则f（-8）+f（-7）+…+f（0）+…+f（8）+f（9）的值为

9 2

2

．
其中，结论正确的是 ______．（将所有正确结论的序号都写上）

答案

①由（a+b+c）（a+b-c）=3ab，得到（a+b）²-c²=3ab，化简得：a²+b²-c²=ab，
则cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

ab

2ab

=

1

2

，根据C∈（0，180°），得到∠C=60°，所以此选项错误；
②因为

S10

10

=

10a1+ 10×9 2 d

10

=a₁+

9

2

d，同理

S100

100

=a₁+

99

2

d，

S110

110

=a₁+

109

2

d，
则

S100 100 - S10 10

100-10

=

(a1+ 99 2 d)-(a1+ 9 2 d)

90

=

d

2

=

S110 110 - S100 100

110-100

=

(a1+ 109 2 d)-(a1+ 99 2 d)

10

=

d

2

，
所以三点(10，

S10

10

)，(100，

S100

100

)，(110，

S110

110

)共线．此选项正确；
③根据等差数列的性质可知，S₁₀，S₂₀-S₁₀，S₃₀-S₂₀成等差数列，
得到：2（S₂₀-S₁₀）=S₁₀+（S₃₀-S₂₀），将S₁₀=30，S₂₀=100，
代入得：2（100-30）=30+（S₃₀-100），解得：S₃₀=210．此选项正确；
④因为f（x）+f（1-x）=

1

2x+ 2

+

1

21-x+ 2

=

1

2x+ 2

+

2x

2 + 2 •2x

=

2

2 (2x+ 2 )

+

2x

2+ 2 •2x

=

2 +2x

1 + 2 •2x

=

2 +2x

2 ( 2 +2x)

=

2

2

，
则f（-8）+f（-7）+…+f（0）+…+f（8）+f（9）=

2

2

×9=

9 2

2

．此选项正确．
所以，正确的结论序号有：②③④．
故答案为：②③④