题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

设minA表示数集A中的最小数；设maxA表示数集A中的最大数．
（1）若a，b＞0，h=min{a，

b

a2+b2

}，求证：h≤

2

2

；
（2）若H=max{

1

a

，

a2+b2

ab

，

1

b

}，求H的最小值．

答案

（1）证明：∵h=min{a，

b

a2+b2

}，
∴0＜h≤a，0＜h≤

b

a2+b2

，
∴h2≤a•

b

a2+b2

=

ab

a2+b2

≤

ab

2ab

=

1

2

，
∴h≤

2

2

．--------（4分）
（2）∵H=max{

1

a

，

a2+b2

ab

，

1

b

}，
∴H≥

1

a

＞0，H≥

a2+b2

ab

＞0，H≥

1

b

＞0，
∴H3≥

1

a

•

a2+b2

ab

•

1

b

=

a2+b2

ab

≥

2ab

ab

=2，
当且仅当a=b时取等号
∴H≥

3	2

．    
所以H的最小值为

3	2

---------（10分）