题目

题型：填空题难度：简单来源：不详

设函数y=f（x）的定义域为R，f（1）=2，且对任意x₁，x₂∈R，都有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂），当x＞0时，f（x）是增函数，则函数y=-f²（x）在区间[-3，-2]上的最大值是______．

答案

先证f（x）为奇函数
∵定义在R上的函数y=f（x），对任意x₁，x₂都有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂），
∴令x₁=x₂=0，有f（0+0）=f（0）+f（0）．解得f（0）=0．
令x₁=-x，x₂=x，有f（-x+x）=f（-x）+f（x）=0，∴f（-x）=-f（x）．
∴f（x）为奇函数．
∵当x＞0时，奇函数f（x）是增函数，
∴当x＜0时，f（x）也是增函数，
∴在区间[-3，-2]上，f（-3）≤f（x）≤f（-2）
根据函数定义可求得f（-3）=-f（3）=-6，f（-2）=-f（2）=-4，
∴在区间[-3，-2]上，-6≤f（x）≤-4
∴y=-f²（x）在区间[-3，-2]上的最大值是-16
故答案为：-16