题目

题型：解答题难度：一般来源：东城区二模

函数f（x）对任意的a，b∈R，都有f（a+b）=f（a）+f（b）-1，并且当x＞0时，f（x）＞1．
（1）求证：f（x）是R上的增函数；
（2）若 f（4）=5，解不等式f（3m²-m-2）＜3．

答案

（1）证明：任取x₁＜x₂，
∴x₂-x₁＞0．
∴f（x₂-x₁）＞1．
∴f（x₂）=f[x₁+（x₂-x₁）]
=f（x₁）+f（x₂-x₁）-1＞f（x₁），
∴f（x）是R上的增函数．
（2）∵f（4）=f（2）+f（2）-1=5，
∴f（2）=3．
∴f（3m²-m-2）＜3=f（2）．
又由（1）的结论知，f（x）是R上的增函数，
∴3m²-m-2＜2，
3m²-m-4＜0，
∴-1＜m＜

4

3

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