题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），且满足对任意的x＞0，y＞0，f（xy）=f（x）+f（y），f（3）=1．当x＞1时，f（x）＞0．
（1）求f（9）的值
（2）判断f（x）的单调性，并加以证明
（3）解不等式f（x）+f（x-8）＜2．

答案

（1）∵对任意的x＞0，y＞0，f（xy）=f（x）+f（y），
令x=y=3，结合f（3）=1可得：
f（9）=f（3）+f（3）=2
证明：（2）任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂
∴f(x2)-f(x1)=f(

x2

x1

)，因x1＜x2，即

x2

x1

＞1，
∴f（

x2

x1

)＞0＞0
即f（x₂）＞f（x₁）
∴函数f（x）是定义在（0，+∞）上为增函数
（3）∵f（x）+f（x-8）=f[x（x-8）]＜f（9）
又函数f（x）是定义在（0，+∞）上为增函数
∴

x＞0 x-8＞0 x(x-8)＜9

⇒8＜x＜9
即原不等式的解集为（8，9）