题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f（x），当x，y∈R时，恒有f（x+y）=f（x）+f（y）．
（1）求证：f（x）+f（-x）=0；
（2）若f（-3）=a，试用a表示f（24）；
（3）如果x∈R时，f（x）＜0，且f(1)=-

1

2

，试求f（x）在区间[-2，6]上的最大值和最小值．

答案

（1）令x=y=0得f（0）=0，再令y=-x得f（-x）=-f（x），
∴f（-x）+f（x）=0．
（2）由f（-3）=af（3）=-a，∴f（24）=f（3+3++3）=8f（3）=-8a．
（3）设x₁＜x₂，则f（x₂）=f[x₁+（x₂-x₁）]=f（x₁）+f（x₂-x₁）
又∵x₂-x₁＞0，∴f（x₂-x₁）＜0，∴f（x₁）+f（x₂-x₁）＜f（x₁），
∴f（x₂）＜f（x₁）∴f（x）在R上是减函
数，∴f（x）_max=f（-2）=-f（2）=-2f（1）=1，
f(x)min=f(6)=6f(1)=6×(-

1

2

)=-3．