题目
题型:解答题难度:一般来源:不详
(1)求证:f(x)是奇函数;
(2)解关于x的不等式:f(mx2)-2f(x)>f(m2x)-2f(m).(m>0,且m为常数).
答案
令x=y=0,得f(0)=f(0)+f(0),即f(0)=0.
令x+y=0,即y=-x,得f(0)=f(x)+f(-x),
∴f(-x)=-f(x)
∴f(x)是奇函数
(2)设x1、x2∈R,且x1<x2,则x1-x2<0,由已知得f(x1-x2)<0.
∴f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2)<0
∴f(x1)<f(x2)即f(x)在R上是增函数.
又2f(m)=f(m)+f(m)=f(2m).
同理2f(x)=f(2x)
f(mx2)-2f(x)>f(m2x)-2f(m)
⇔f(mx2)+f(2m)>f(m2x)+f(2x)
⇔f(mx2+2m)>f(m2x+2x)
⇔mx2+2m>m2x+2x
⇔mx2-(m2+2)x+2m>0
∵m>0,∴x2-(m+
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∴(x-
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当
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核心考点
试题【已知定义在R上的函数f(x)满足:f(x+y)=f(x)+f(y),当x<0时,f(x)<0.(1)求证:f(x)是奇函数;(2)解关于x的不等式:f(mx2)】;主要考察你对函数的单调性与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
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(I)当a=-2时,求函数,f(x)的单调递减区间;
(Ⅱ)若函数f(x)在(-1,1)内单调递减,求a的取值范围;
(III)函数f(x)是否为R上的单调函数,若是,求出a的取值范围:若不是,请说明理由.
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