题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

定义在R上的单调函数f（x）满足对任意x，y均有f（x+y）=f（x）+f（y），且f（1）=1．
（1）求f（0）的值，并判断f（x）的奇偶性；
（2）解关于x的不等式：f（x-x²+2）+f（2x）+2＜0．

答案

（1）令x=y=0，则题意可得f（0）=f（0）+f（0）∴f（0）=0（3分）
令y=-x，则有f（0）=f（x）+f（-x）∵f（0）=0，故对任意x∈R有f（-x）=-f（x）成立．
∴函数f（x）为奇函数．（6分）
（2）由函数f（x）是定义在R上的单调函数且f（0）=0，f（1）=1，
可知函数f（x）在（-∞，+∞）上单调递增．
∴原不等式等价于f（3x-x²+2）＜-2．（8分）
∵f（1）=1，f（2）=f（1）+f（1）=2．
又∵函数为奇函数∴f（-2）=-2．
∴f（3x-x²+2）＜f（-2）．（10分）
∴3x-x²+2＜-2．
即x²-3x-4＞0
∴原不等式的解集为{x|x＞4或x＜-1}（12分）