题目

题型：填空题难度：一般来源：不详

设一次函数f（x）=ax+b，其中a，b为实数，f₁（x）=f（x），f_n+1（x）=f（f_n（x）），n=1，2，3，…，若f₅（x）=32x+31，则f₂₀₀₈（-1）=______．

答案

因为f（x）=ax+b，f_n+1（x）=f（f_n（x）），所以f₁（x）=f（x）=ax+b，f₂（x）=f（f₁（x））=f（ax+b）=a（ax+b）+b=a²x+ab+b，
f（f₃（x））=f（f₂（x））=a[a（ax+b）+b]+b=a³x+a²b+ab+b，
同理f₄（x）=f（f₃（x））=a⁴x+a³b+a²b+ab+b，
则f₅（x）=f（f₄（x））=a⁵x+a⁴b+a³b+a²b+ab+b=32x+31，
即a⁵=32①，a⁴b+a³b+a²b+ab+b=31②，解得a=2，b=1，
所以f（x）=2x+1，则f₁（-1）=-1，f₂（-1）=-1，…fn（-1）=-1．
所以f₂₀₀₈（-1）=-1．
故答案为：-1．