题目
题型:解答题难度:一般来源:镇江模拟
(1)证明:只要a<0,无论b取何值,函数g(x)在定义域内不可能总为增函数;
(2)在同一函数图象上任意取不同两点A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB中点为C(x0,y0),记直线AB的斜率为k,
①对于二次函数f(x)=ax2+bx+c,求证:k=f′(x0);
②对于“伪二次函数”g(x)=ax2+bx+clnx,是否有①同样的性质?证明你的结论.
答案
g′(x)=2ax+b+
c |
x |
2ax2+bx+c |
x |
∴2ax2+bx+c>0(ii)恒成立
∵a<0,由二次函数的性质,(ii)不可能恒成立
则函数g(x)不可能总为增函数.
(2)①对于二次函数:
k=
f(x2)-f(x1) |
x2- x1 |
a(x22-x12)+b(x2-x1) |
x2-x1 |
由f′(x)=2ax+b故f′(x0)=2ax0+b
即k=f′(x0)
(2)②
不妨设x2>x1,对于伪二次函数g(x)=ax2+bx+clnx=f(x)+clnx-c,
k=
g(x2)-g(x1) |
x2-x1 |
f(x2)-f(x1)+cln
| ||
x2-x1 |
如果有①的性质,则g′(x0)=k
∴
cln
| ||
x2-x1 |
c |
x0 |
即∴
ln
| ||
x2-x1 |
2 |
x1+x2 |
令t=
x2 |
x1 |
lnt |
t-1 |
2 |
t+1 |
设s(t)=lnt-
2t-2 |
t+1 |
1 |
t |
2(t+1)-2(t-1) |
(t+1)2 |
(t-1)2 |
t(t+1)2 |
∴s(t)在(1,+∞)上递增,
∴s(t)>s(1)=0
∴g′(x0)≠k∴“伪二次函数“g(x)=ax2+bx+clnx不具有①的性质.
核心考点
试题【已知二次函数f(x)=ax2+bx+c和“伪二次函数”g(x)=ax2+bx+clnx(abc≠0).(1)证明:只要a<0,无论b取何值,函数g(x)在定义域】;主要考察你对函数的单调性与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
A.2008 | B.2009 | C.2010 | D.2011 |
A.[2,3] | B.[1,2] | C.[-1,3] | D.[2,+∞) |
A.y=sinx | B.y=-log2x | C.y=(
| D.y=x-
|
1 |
3|x| |
(1)若f(x)=
2 |
3 |
3 |
(2)若f(x)>
2 |
3 |
3 |
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