题目
题型:解答题难度:一般来源:乐山二模
q |
x |
p |
e |
(I)求p与q的关系;
(Ⅱ)若g(x)在其定义域内为单调函数,求p的取值范围;
(Ⅲ)证明:
①f(1+x)≤x(x>-1);
②
ln2 |
22 |
ln3 |
32 |
lnn |
n2 |
2n2-n-1 |
4(n+1) |
答案
q |
x |
又g(e)=pe-
q |
e |
q |
e |
q |
e |
∴(p-q)e+(p-q)
1 |
e |
1 |
e |
而e+
1 |
e |
(II)由(I)知:g(x)=px-
p |
x |
p |
x2 |
2 |
x |
px2-2x+p |
x2 |
令h(x)=px2-2x+p.要使g(x)在(0,+∞)为单调函数,只需h(x)在(0,+∞)满足:
h(x)≥0或h(x)≤0恒成立.
①p=0时,h(x)=-2x,∵x>0,∴h(x)<0,∴g"(x)=-
2x |
x2 |
∴g(x)在(0,+∞)单调递减,∴p=0适合题意.
②当p>0时,h(x)=px2-2x+p图象为开口向上抛物线,
称轴为x=
1 |
p |
1 |
p |
1 |
p |
∴g(x)在(0,+∞)单调递增,∴p≥1适合题意.
③当p<0时,h(x)=px2-2x+p图象为开口向下的抛物线,其对称轴为x=
1 |
p |
只需h(0)≤0,即p≤0时h(0)≤(0,+∞)恒成立.
∴g′(x)<0,∴g(x)在(0,+∞)单调递减,∴p<0适合题意.
综上①②③可得,p≥1或p≤0.
(III)证明:①即证:lnx-x+1≤0(x>0),
设k(x)=lnx-x+1,则k"(x)=
1 |
x |
1-x |
x |
当x∈(0,1)时,k′(x)>0,∴k(x)为单调递增函数;
当x∈(1,∞)时,k′(x)<0,∴k(x)为单调递减函数;
∴x=1为k(x)的极大值点,∴k(x)≤k(1)=0.即lnx-x+1≤0,
所以lnx≤x-1得证.
②由①知lnx≤x-1,又x>0,
∴
lnx |
x |
x-1 |
x |
1 |
x |
得
lnn2 |
n2 |
1 |
n2 |
∴
lnn |
n2 |
1 |
2 |
1 |
n2 |
∴
ln2 |
22 |
ln3 |
32 |
lnn |
22 |
1 |
2 |
1 |
22 |
1 |
32 |
1 |
n2 |
=
1 |
2 |
1 |
22 |
1 |
32 |
1 |
n2 |
1 |
2 |
1 |
2×3 |
1 |
3×4 |
1 |
n(n+1) |
=
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
3 |
1 |
3 |
1 |
4 |
1 |
n |
1 |
n+1 |
=
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
n+1 |
2n2-n-1 |
4(n+1) |
所以得证.
核心考点
试题【设g(x)=px-qx-2f(x),其中f(x)=lnx,且g(e)=qe-pe-2.(e为自然对数的底数)(I)求p与q的关系;(Ⅱ)若g(x)在其定义域内为】;主要考察你对函数的单调性与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
x1+x2 |
2 |
(1)求p,q的值;
(2)确定函数f(x)在区间[-3,3]上的单调性;
(3)若当-3≤x≤3时,不等式f(x)≥10sint-49恒成立,求实数t的取值范围.
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