题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f（x）=2^x．
（1）求函数F（x）=f（x）+af（2x），x∈（-∞，0]的最大值；
（2）若存在x∈（-∞，0），使f（2x）-af（x）＞1成立，求a的取值范围；
（3）若当x∈[0，3]时，不等式f（x+1）≤f[（2x+a）²]恒成立，求a的取值范围．

答案

（1）F（x）=2^x+a•2^2x，x∈（-∞，0]．
令2^x=t，因x∈（-∞，0]，故t∈（0，1]．
2^x+a•2^2x=at²+t（0＜t≤1）．（2分）
当a=0时，F（x）_max=1．（3分）
当a≠0时，令g（t）=at2+t=a(t+

1

2a

)2-

1

4a

(0＜t≤1)．
若a＞0，t=1时g（t）取最大值，g（1）=a+1．（4分）
若-

1

2

＜a＜0，t=1时g（t）取最大值，g（1）=a+1．（5分）
若a≤-

1

2

，t=-

1

2a

时g（t）取最大值，g(-

1

2a

)=-

1

4a

．（6分）
综上，F(x)max=

1+a，a＞- 1 2 - 1 4a ，a≤- 1 2 .

（7分）
（2）令2^x=t，则存在t∈（0，1）使得t²-at＞1，
即存在t∈（0，1）使得a＜t-

1

t

，∴a＜0．a的取值范围是（-∞，0）．（9分）
（3）因f（x）=2^x是单调增函数，故由f（x+1）≤f[（2x+a）²]得x+1≤（2x+a）²，
问题转化为x+1≤（2x+a）²对x∈[0，3]恒成立，（10分）
即4x²+（4a-1）x+a²-1≥0，令h（x）=4x²+（4a-1）x+a²-1，
若

1-4a

8

＜0，必需且只需h（0）≥0，此时得a≥1；（12分）
若

1-4a

8

＞3，必需且只需h（3）≥0，此时得a≤-8；（14分）
若0≤

1-4a

8

≤3，必需且只需△=（4a-1）²-16（a²-1）≤0，此时无解．
综上得a的取值范围是{a|a≤-8或a≥1}．（16分）