题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数y=b+ax2+2x，（a，b是常数a＞0且a≠1）在区间[-

3

2

，0]上有y_max=3，y_min=

5

2

（1）求a，b的值；
（2）若a∈N^*当y＞10时，求x的取值范围．

答案

（1）x∈[-

3

2

，0]，t=x2+2x=(x+1)2-1的值域为[-1，0]，即t∈[-1，0]，
若a＞1，函数y=a^t在R上单调递增，
所以，at∈[

1

a

，1]，则b+ax2+2x∈[b+

1

a

，b+1]，
所以

b+ 1 a = 5 2 b+1=3

⇒

a=2 b=2

；
若0＜a＜1，函数y=a^t在R上单调递减，at∈[1，

1

a

]，则b+ax2+2x∈[b+1，b+

1

a

]，
所以

b+ 1 a =3 b+1= 5 2

⇒

a= 2 3 b= 3 2

，
所以a，b的值为

a= 2 3 b= 3 2

或

a=2 b=2

；
（2）由（1）可知a=2，b=2，
则2+2x2+2x＞10，即x²+2x＞3⇒x²+2x-3＞0，
解得x＞1或x＜-3，
所以x的取值范围为{x|x＞1或x＜-3}．