题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

设f（x）是定义在R上的奇函数，g（x）与f（x）的图象关于直线x=1对称，若g（x）=a（x-2）-（x-2）³．
（1）求f（x）的解析式；
（2）当x=1时，f（x）取得极值，证明：对任意x₁，x₂∈（-1，1），不等式|f（x₁）-f（x₂）|＜4恒成立；
（3）若f（x）是[1，+∞）上的单调函数，且当x₀≥1，f（x₀）≥1时，有f[f（x₀）]=x₀，求证：f（x₀）=x₀．

答案

（1）∵f（x）与g（x）的图象关于x=1对称，
设点M（x，f（x））是f（x）上的任意一点．则点M关于x=1的对称点（2-x，g（2-x））在函数g（x）的图象上．
∴f（x）=g（2-x）=-ax+x³．  …（3分）
（2）f′（x）=-a+3x²，又x=1是函数f（x）的一个极值点，
∴f′（1）=0⇒-a+3=0，得a=3，…（4分）
故f（x）=-3x+x³．f′（x）=-3+3x²=-3（x+1）（x-1），当x∈[-1，1]，f′（x）≤0，
∴f（x）在[-1，1]上是减函数．  …（5分）f_min（x）=f（1）=-2，f_max（x）=f（-1）=2，…（7分）
故对任意x₁，x₂∈（-1，1），有|f（x₁）-f（x₂）|＜|2-（-2）|=4．  …（8分）
（3）若f（x）在[1，+∞）是减函数，则f′（x）=-a+3x²＜0在[1，+∞）上恒成立．
即a≥3x²在[1，+∞）上恒成立，此时a不存在；  …（9分）
若f（x）在[1，+∞）是增函数，即a≤3x²在[1，+∞）上恒成立．故a≤3．  …（11分）
设f（x₀）＞x₀≥1则f[f（x₀）]＞f（x₀），∴x₀＞f（x₀）矛盾，…（13分）
若x₀＞f（x₀）≥1则f（x₀）＞f[f（x₀）]∴f（x₀）＞x₀矛盾！
故f（x₀）=x₀．                                           …（15分）