题目
题型:解答题难度:一般来源:不详
(1)求证:b-a≤1;
(2)已知区间[0,1]为f(x)的一个单调区间,且对任意x<0,都有f(2x)>f(2),解关于实数x的不等式f(-10.5)>f(x2+6x).
答案
不妨取特殊值a=0,则b>1,
∵f(2-x)=f(2+x),∴f(4-b)=f(b),
又函数f(x)(x∈R)的最小正周期为2,
∴f(4-b)=f(2-b)
∴f(2-b)=f(b)
而区间[0,b]是f(x)的一个单调区间,⇒f(2-b)≠f(b),
这与f(2-b)=f(b)矛盾,故假设不成立,
∴b-a≤1;
(2)∵对任意x<0,都有f(2x)>f(2)=f(0),
其中0<2x<1,
∴区间[0,1]为f(x)的一个单调增区间,
∵函数f(x)(x∈R)的最小正周期为2,
∴f(2-x)=f(-x),f(x)=f(2+x),
且对任意实数x,f(2-x)=f(2+x),
∴f(-x)=f(x),函数f(x)是偶函数,
∵区间[0,1]为f(x)的一个单调增区间,根据偶函数的对称性得:
区间[-1,0]为f(x)的一个单调减区间,
根据函数的周期性得:区间[1,2]为f(x)的一个单调减区间,
又不等式f(-10.5)>f(x2+6x)可化成:
f(1.5)>f(x2+6x).
在一个周期长的区间[0,2)上考虑此不等式的解,有:
0≤x2+6x≤
1 |
2 |
3 |
2 |
解之得:
-6-
| ||
2 |
-6+
| ||
2 |
11 |
-6-
| ||
2 |
-6+
| ||
2 |
11 |
根据函数的周期性得:
不等式f(-10.5)>f(x2+6x)在R上的解是:
-6-
| ||
2 |
-6+
| ||
2 |
11 |
-6-
| ||
2 |
-6+
| ||
2 |
11 |
核心考点
试题【已知函数f(x)(x∈R)的最小正周期为2,且对任意实数x,f(2-x)=f(2+x),且[a,b](a<b)是f(x)的一个单调区间.(1)求证:b-a≤1;】;主要考察你对函数的单调性与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)若y=f1(x)是区间D上的增函数,能否确定y=F(x)是区间D上的增函数?若能够确定,说明理由;若不能,请举例说明;
(2)若y=f2(x)是区间D上的增函数,能否确定y=F(x)是区间D上的增函数?若能够确定,说明理由;若不能,请举例说明;
(3)求函数f(x)=x2+
1 |
4x |
①定义域为R;
②值域为[0,1];
③在定义域上是单调增函数;
④是周期为1的周期函数;
⑤是奇函数.
其中正确判断的序号是______(把所有正确的序号都填上).
A.(0,1) | B.[0,1) | C.(0,1] | D.[0,1] |
x+b |
x-a |
A.a<1且b>3 | B.a>-1且b>1 | C.a>1且b>-1 | D.a<-2且b<2 |
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