题目
题型:解答题难度:一般来源:不详
f(x1)+f(x2) |
2 |
x1+x2 |
2 |
(1)证明:定义在R上的二次函数f(x)=ax2+bx+c(a<0)是凸函数;
(2)设f(x)=ax2+x(a∈R,a≠0),并且x∈[0,1]时,f(x)≤1恒成立,求实数a的取值范围,并判断函数
f(x)=ax2+x(a∈R,a≠0)能否成为R上的凸函数;
(3)定义在整数集Z上的函数f(x)满足:①对任意的x,y∈Z,f(x+y)=f(x)f(y);②f(0)≠0,f(1)=2.
试求f(x)的解析式;并判断所求的函数f(x)是不是R上的凸函数说明理由.
答案
有[f(x1)+f(x2)]-2f(
x1+x2 |
2 |
x1+x2 |
2 |
x1+x2 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
∴当a<0时,f(x1)+f(x2)≤2f(
x1+x2 |
2 |
f(x1)+f(x2) |
2 |
x1+x2 |
2 |
当a<0时,函数f(x)是凸函数. (5分)
(2)当x=0时,对于a∈R,有f(x)≤1恒成立;当x∈(0,1]时,要f(x)≤1恒成立,即ax2≤-x+1,
∴a≤
1 |
x2 |
1 |
x |
1 |
x |
1 |
2 |
1 |
4 |
1 |
x |
1 |
x |
1 |
x |
1 |
2 |
1 |
4 |
∴a≤0,又a≠0,∴a的取值范围是(-∞,0).
由此可知,满足条件的实数a的取值恒为负数,由(1)可知函数f(x)是凸函数 (11分)
(3)令x=y=0,则f(0)=[f(0)]2,∵f(0)≠0,∴f(0)=1,(12分)
令y=-x,则1=f(0)=f(x-x)=f(x)f(-x),故f(x)=
1 |
f(-x) |
若n∈N*,则f(n)=f[(n-1)+1]=f(n-1)f(1)=2f(n-1)=…=[f(1)]2; (14分)
若n<0,n∈Z,则-n∈N*,∴f(n)=
1 |
f(-n) |
1 |
2-n |
综上所述,对任意的x∈Z,都有f(x)=2x; (15分)
∵
1 |
2 |
3 |
2 |
2 |
(对任意x1,x2∈R,有
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
2x1+x2 |
x1+x2 |
2 |
核心考点
试题【若定义在区间D上的函数y=f(x)对于区间D上的任意两个值x1、x2总有以下不等式f(x1)+f(x2)2≤f(x1+x22)成立,则称函数y=f(x)为区间D】;主要考察你对函数的单调性与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
A.10 | B.2 | C.3 | D.4 |
4x-t |
x2+1 |
(1)求f(α)和f(β)的值.
(2)证明:f(x)在[α,β]上是增函数.
(3)对任意正数x1.x2,求证:|f(
x1α+x2β |
x1+x2 |
x1β+x2α |
x1+x2 |
1 |
4x |
a |
2x |
(1)求f(x)在[-1,1]上的解析表达式;
(2)求f(x)在[-1,0]上的值域.
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