题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

函数f（x）是定义在（-1，1）上的奇函数，
①已知f（x）是单调减函数，求不等式f（1-a）+f（1-a²）＜0的解；
②已知f（x）在区间[0，1）上是减函数，证明：f（x）是单调减函数．

答案

①f（1-a）＜-f（1-a²）
∴f（1-a）＜f（-1+a²）
∴1＞1-a＞-1+a²＞-1即0＜a＜1                                
②设-1＜x₁＜x₂＜1，只需证明f（x₁）＞f（x₂）
i当0≤x₁＜x₂＜0时，显然有f（x₁）＞f（x₂）成立；            
ii当-1＜x₁＜x₂≤0时，有1＞-x₁＞-x₂≥0
∴f（-x₁）＜ƒ（-x₂）∴-f（x₁）＜-f（x₂）
即：f（x₁）＞f（x₂）成立；                                      
iii当-1＜x₁＜0＜x₂＜1时，有f（x₁）＞f（0）且ƒ（0）＞f（x₂）
即：f（x₁）＞f（x₂）成立；
综上，当-1＜x₁＜x₂＜1时，总有：f（0）＞f（x₂）
即：f（x）是单调减函数．