题目

题型：解答题难度：一般来源：上海模拟

已知复数z₁=log₂（2^x+1）+ki，z₂=1-xi（其中x，k∈R），记z₁z₂的实部为f（x），若函数f（x）是关于x的偶函数，
（1）求k的值；
（2）求函数y=f（log₂x）在x∈（0，a]，a＞0，a∈R上的最小值；
（3）求证：对任意实数m，函数y=f（x）图象与直线y=

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2

x+m的图象最多只有一个交点．

答案

（1）z₁z₂=（log₂（2^x+1）+ki）（1-xi）；所以f（x）=log₂（2^x+1）+kx，
因为函数f（x）是关于x的偶函数所以f（-x）=log₂（2^-x+1）-kx=log₂（2^x+1）+kx=f（x），所以2kx=-x，所以k=-

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（2）由（1）可知f（x）=log₂（2^x+1）-

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x，
所以y=f（log₂x）=log₂（x+1）-

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2

log₂x=log2

x+1

x

=

log	( x + 1 x )2

，
所以x∈（0，a]，a＞0，a∈R，ymin=

log2( a + 1 a )(0＜a≤1) 1(a＞1)

（3）函数y=f（x）图象与直线y=

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x+m的图象最多只有一个交点，
就是log₂（2^x+1）-

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x=

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2

x+m最多只有一个解，就是log₂（2^x+1）=x+m最多只有一个解，
因为函数log₂（2^x+1）是单调增函数，x+m也是单调增函数，
所以对任意实数m，函数y=f（x）图象与直线y=

1

2

x+m的图象最多只有一个交点．