题目

题型：解答题难度：一般来源：眉山一模

已知函数f（x）=

ax2+1

x

．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若a＞0，x₁+x₂＞0，x₂+x₃＞0，x₃+x₁＞0，|x_i|＞

1

a

（i=1，2，3）．求证：f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）＞2

a

．

答案

整理得：f（x）=ax+

1

x

（1）当a≤0时，f（x）的减区间为（-∞，0）和（0，+∞）；
当a＞0时，f（x）的减区间为（-

1

a

，0）和（0，

1

a

），增区间为（-∞，-

1

a

）和（

1

a

，+∞）…（5分）
（2）由条件知：x₁，x₂，x₃中至多一个负数．   …（6分）
（ⅰ）若x₁，x₂，x₃都为正数，由（1）可知|x_i|＞

1

a

时，f（|x_i|）＞f（

1

a

）=2

a

 （i=1，2，3）
∴f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）＞6

a

＞2

a

 …（9分）
（ⅱ）若x₁，x₂，x₃中有一负数，不妨设x₃＜0．
∵x₂+x₃＞0且|x₃|＞

1

a

，
∴x₂＞-x₃＞

1

a

∴f（x₂）＞f（-x₃）=-f（x₃）（∵f（x）为奇函数）
∴f（x₂）+f（x₃）＞0
∴f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）＞f（x₁）＞f（

1

a

）=2

a

  …（11分）
综上，f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）＞2

a

．…（12分）