题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

设a＞0，b＞0，已知函数f（x）=

ax+b

x+1

，且a≠b．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）已知f（

b

a

）≤f（x）≤f（

b a

），求x的取值范围．

答案

（1）函数的定义域为{x|x≠1}，函数的导数f′(x)=

a(x+1)-(ax+b)

(x+1)2

=

a-b

(x+1)2

，
当a＞b时，f"（x）＞0，函数在f（x）在（-∞，-1），（-1，+∞）上单调递增．
当a＜b时，f"（x）＜0，函数在f（x）在（-∞，-1），（-1，+∞）上单调递减．
（2）若f（

b

a

）≤f（x）≤f（

b a

），
当a＞b时，0＜

b

a

＜1，从而

b

a

＜

b a

，由f（x）在（0，+∞）上单调递增，
所以

b

a

≤x≤

b a

，即x的取值范围为[

b

a

，

b a

]．
当a＜b时，

b

a

＞1，从而

b

a

＞

b a

，由f"（x）＜0，可知函数f（x）在（0，+∞）上单调递减．
所以此时

b a

≤x≤

b

a

，即x的取值范围为[

b a

，

b

a

]．