题目

题型：填空题难度：简单来源：不详

已知函数f(x)=loga(3-ax2)在[0，3]上单调递增，则实数a的取值范围为______．

答案

设μ=3-ax²，
则原函数f（x）=log_a（3-ax²）是函数：y=log_aμ，μ=3-ax²的复合函数，
①当a＞1时，y=log_au在（0，+∞）上是增函数，
而函数μ=3-ax²在[0，3]上是减函数，
根据复合函数的单调性，得函数f（x）在[0，3]上单调递减，与题意不符；
②当0＜a＜1时，y=log_au在（0，+∞）上是减函数，
函数μ=3-ax²在[0，3]上是减函数，
根据复合函数的单调性，得函数f（x）在[0，3]上单调递增，
且μ=3-ax²＞0在[0，3]上恒成立，
所以有

0＜a＜1 3-a•32＞0

，解得0＜a＜

1

3

．
综①②，得实数a的取值范围为（0，

1

3

）．
故答案为：（0，

1

3

）．