题目
题型:解答题难度:简单来源:不详
已知R,函数.
(1)求的单调区间;
(2)证明:当时,.
答案
当时,,此时的单调递增区间为和,
单调递减区间为
(2)构造函数,利用放缩法的思想来求证不等式的成立。
解析
试题分析:解:(1)由题意得 ………2分
当时,恒成立,此时的单调区间为 ……4分
当时,,
此时的单调递增区间为和,
单调递减区间为 ……………6分
(2)证明:由于,所以当时,
…………8分
当时,……10分
设,则,
于是随的变化情况如下表:
| 0 | 1 | |||
| 0 | | |||
1 | 减 | 极小值 | 增 | 1 |
所以,当时,,
故 …………13分
(2)另解:由于,所以当时,.
令,则.
当时,在上递增, ………8分
当时,,在上递减,在上递增,所以.
故当时, ………10分
当时,.
设,则,
③当时,在上递减, ……11分
④当时,在上递减,在上递增,所以
.
故当时,.
故 …………13分
点评:对于含有参数的函数的单调区间的求解,这一点是高考的重点,同时对于参数的分类讨论思想,这是解决这类问题的难点,而分类的标准一般要考虑到函数的定义域对于参数的制约,进而分析得到。而不等式的恒成立问题,常常转化为分离参数 思想,求解函数的最值来完成。属于难度题。
核心考点
举一反三
给出下列各式
①,②,
③, ④.
其中等式恒成立的是 .(将所有恒成立的等式的序号都填上)
A.2011 | B.2012 | C.4022 | D.4024 |
(Ⅰ)确定在上的单调性;
(Ⅱ)设在上有极值,求的取值范围。
A. | B. | C. | D.1 |
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