题目

题型：解答题难度：简单来源：不详

设函数
(Ⅰ) 当时，求函数的极值；
（Ⅱ）当时，讨论函数的单调性.
（Ⅲ）若对任意及任意，恒有 成立，求实数的取值范围.

答案

(Ⅰ) 无极大值.
（Ⅱ）当时，在上是减函数；
当时，在和单调递减，在上单调递增；
当时，在和单调递减，在上单调递增；
（Ⅲ） 

解析

试题分析：(Ⅰ)函数的定义域为.  
当时，2分
当时，当时， 无极大值. 4分
（Ⅱ） 
5分
当，即时， 在定义域上是减函数；
当，即时，令得或
令得当，即时，令得或
令得      综上，当时，在上是减函数；
当时，在和单调递减，在上单调递增；
当时，在和单调递减，在上单调递增；8分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当时，在上单减，是最大值， 是最小值.
  10分

而经整理得，由得，所以12分
点评：典型题，本题属于导数应用中的基本问题，通过研究函数的单调性，明确了极值情况。涉及不等式恒成立问题，转化成了研究函数的最值之间的差，从而利用“分离参数法”又转化成函数的最值问题。涉及对数函数，要特别注意函数的定义域。