题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

某医药研究所开发一种新药，在试验药效时发现：如果成人按规定剂量服用，那么服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间x(小时)之间满足y＝其对应曲线(如图所示)过点.
 
(1)试求药量峰值(y的最大值)与达峰时间(y取最大值时对应的x值)；
(2)如果每毫升血液中含药量不少于1微克时治疗疾病有效，那么成人按规定剂量服用该药后一次能维持多长的有效时间(精确到0.01小时)?

答案

（1）y取最大值时，对应的x值为1.（2）3.85小时

解析

(1)由曲线过点，可得，故a＝8.
当0<x<1时，y＝＝4，
当x≥1时，设2^x－1＝t，可知t≥1，
y＝≤＝4(当且仅当t＝1，即x＝1时，等号成立)．
综上可知y_max＝4，且当y取最大值时，对应的x值为1.
所以药量峰值为4微克，达峰时间为1小时．
(2)当0<x<1时，由＝1，可得x²－8x＋1＝0，
解得x＝4±，又4＋>1，故x＝4－.
当x≥1时，设2^x－1＝t，则t≥1，＝1，可得＝1，解得t＝4±，
又t≥1，故t＝4＋，所以2^x－1＝4＋，可得x＝log₂(4＋)＋1.
由图像知当y≥1时，对应的x的取值范围是[4－，log₂(4＋)＋1]，
log₂(4＋)＋1－(4－)≈3.85，
所以成人按规定剂量服用该药后一次能维持大约3.85小时的有效时间．