题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数．
（1）当时，判断在的单调性，并用定义证明；
（2）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围；
（3）讨论零点的个数．

答案

(1)单调递减函数；(2)；(3)当或时，有1个零点.当或或时，有2个零点；当或时，有3个零点.

解析

试题分析：(1)先根据条件化简函数式，根据常见函数的单调性及单调性运算法则，作出单调性的判定，再用定义证明；(2)将题中所给不等式具体化，转化为不等式恒成立问题，通过参变分离化为，求出的最大值，则的范围就是大于的最大值；(3)将函数零点个数转化为方程解的个数，再转化为函数与交点个数，运用数形结合思想求解.
试题解析：（1）当，且时，是单调递减的
证明：设，则




又，所以，
所以
所以，即
故当时，在上单调递减
（2）由得
变形为，即
而
当即时
所以
（3）由可得，变为
令
作的图像及直线

由图像可得：
当或时，有1个零点
当或或时，有2个零点
当或时，有3个零点．