题目

题型：解答题难度：一般来源：江苏高考真题

如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的两个顶点A、B及CD的中点P处，AB=20km，BC=10km。为了处理三家工厂的污水，现要在该矩形区域上（含边界），且与A、B等距离的一点O处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO、BO、PO，设排污管道的总长度为ykm，
(Ⅰ)按下列要求建立函数关系：
(ⅰ)设∠BAO=θ(rad)，将y表示为θ的函数；
(ⅱ)设PO=x(km)，将y表示成x的函数；
(Ⅱ)请你选用(Ⅰ)中的一个函数关系，确定污水处理厂的位置，使铺设的排污管道的总长度最短．

答案

解：(Ⅰ)(ⅰ)如图，延长PO交AB于点Q，
由题设可知，AO=BO，PO=10-OQ，
在Rt△AQO中，，
所以，，
又易知，
故y用θ表示的函数为。
(ⅱ)由题设可知，在Rt△AQO中，，
则，显然0≤x≤10，
所以y用x表示的函数为。 (Ⅱ)选用(Ⅰ)中的函数关系，
来确定符合要求的污水处理厂的位置．
因为，
所以，
由y′=0得，
因，故，
当时，y′＜0；当时，y′＞0，
所以函数y在时取得极小值，这个极小值就是函数y在上的最小值，
当时，。
因此，当污水处理厂建在矩形区域内且到A、B两点的距离均为时， 铺设的排污管道的总长度最短．