题目

题型：解答题难度：一般来源：四川

已知函数f（x）=x³+2bx²+cx-2的图象在与x轴交点处的切线方程是y=5x-10．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设函数g（x）=f（x）+

1

3

mx，若g（x）的极值存在，求实数m的取值范围以及函数g（x）取得极值时对应的自变量x的值．

答案

（1）由已知，切点为（2，0），故有f（2）=0，
即4b+c+3=0．①
f′（x）=3x²+4bx+c，由已知，f′（2）=12+8b+c=5．
得8b+c+7=0．②
联立①、②，解得c=1，b=-1，
于是函数解析式为f（x）=x³-2x²+x-2．
（2）g（x）=x³-2x²+x-2+

1

3

mx，
g′（x）=3x²-4x+1+

m

3

，令g′（x）=0．
当函数有极值时，△≥0，方程3x²-4x+1+

m

3

=0有实根，
由△=4（1-m）≥0，得m≤1．
①当m=1时，g′（x）=0有实根x=

2

3

，在x=

2

3

左右两侧均有g′（x）＞0，故函数g（x）无极值．
②当m＜1时，g′（x）=0有两个实根，
x₁=

1

3

（2-

1-m

），x₂=

1

3

（2+

1-m

），
当x变化时，g′（x）、g（x）的变化情况如下表：


故在m∈（-∞，1）时，函数g（x）有极值；
当x=

1

3

（2-

1-m

）时g（x）有极大值；
当x=

1

3

（2+

1-m

）时g（x）有极小值．