题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a，b，c，d∈R），且函数f（x）的图象关于原点
对称，其图象在x=3处的切线方程为8x-y-18=0
（1）求f（x）的解析式；
（2）是否存在区间[m，n]，使得函数g（x）的定义域和值域均为[m，n]，且其解析式为f（x）的解析式？若存在，求出这样一个区间[m，n]；若不存在，则说明理由．

答案

（1）∵f（x）的图象关于原点对称，
∴f（-x）+f（x）=0恒成立，
即2bx²+2d=0，∴b=d=0
又f（x）的图象在x=3处的切线方程为8x-y-18=0，
即y-6=8（x-3），…（2分）
∴f"（3）=8，且f（3）=6．而f（x）=ax³+cx，
∴f"（x）=3ax²+c…（3分）
∴

f′(3)=27a+c=8 f(3)=27a+3c=6

解得

a= 1 3 c=-1

．
故所求的解析式为f(x)=

1

3

x3-x．…（6分）
（2）解

y= 1 3 x3-x y=x

得x=0或x=±

6

又f"（x）=x²-1，由f"（x）=0得x=±1，
且当x=[-

6

，-1)或x=(1，

6

]时，f"（x）＞0；…（8分）
当x∈（-1，1）时f"（x）＜0．
∴f(x)在[-

6

，-1]和[1，

6

]递增；在[-1，1]上递减…（9分）
∴f(x)在[-

6

，

6

]上的极大值和极小值分别为f(-1)=

2

3

f(1)=-

2

3

．
而-

6

＜-

2

3

＜

2

3

＜

6

．
故存在这样的区间[m，n]，其中一个区间为[-

6

，

6

]．…（12分）