题目
题型:解答题难度:一般来源:不详
(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)若对任意的x∈[1,+∞),f′(x)≤klnx恒成立,求实数k的取值范围.
答案
9 |
2 |
∵点(3,f(3))也在函数f(x)=ax3+bx2的图象上,∴27a+9b=-
9 |
2 |
再由f"(x)=3ax2+2bx,f"(3)=-6,∴27a+6b=-6②
联立①②,解得a=-
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3 |
1 |
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∴f(x)=-
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3 |
1 |
2 |
(Ⅱ)由f"(x)=-x2+x,∴f′(x)≤klnx恒成立,
即-x2+x≤klnx在x∈[1,+∞)上恒成立;
也就是x2-x+klnx≥0在x∈[1,+∞)恒成立;
设g(x)=x2-x+klnx,
∵g(1)=0,
∴只需对任意x∈[1,+∞)有g(x)≥g(1)即可.
g′(x)=2x-1+
k |
x |
2x2-x+k |
x |
设h(x)=2x2-x+k,
(1)当△=1-8k≤0,即k≥
1 |
8 |
∴g(x)在[1,+∞)单调递增,
∴g(x)≥g(1).
(2)当△=1-8k>0,即k<
1 |
8 |
x | 2 |
由x1+
x | 2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
只需x2≤1,即2×12-1+k≥0,
∴k+1≥0,k≥-1
∴-1≤k<
1 |
8 |
综上分析,实数k的取值范围为[-1,+∞).
核心考点
试题【已知函数f(x)=ax3+bx2,f(x)在点(3,f(3))处的切线方程为12x+2y-27=0.(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;(Ⅱ)若对任意的x∈[1,+∞】;主要考察你对求函数解析式等知识点的理解。[详细]
举一反三
(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)求实数k的最小值;
(Ⅲ)求证:1+
1 |
2 |
1 |
3 |
1 |
n |
x |
(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)设g(a)为f(x)在区间[0,2]上的最小值.
(i)写出g(a)的表达式;
(ii)求a的取值范围,使得-6≤g(a)≤-2.
x |
x |
1 |
x-4 |
(1)求g(x)的表达式;
(2)解不等式logag(x)≤loga
5 |
2 |
1 |
3 |
1 |
2 |
(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)对任意的x∈(0,+∞),f(x)≤g′(x)恒成立,求实数a的取值范围.
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