题目

题型：解答题难度：一般来源：同步题

已知函数f(x)=ax²+bx+c(a＞0，b∈R，c∈R)，
(1)若函数f(x)的最小值是f(-1)=0，且c=1，F(x)=，求F(2)+F(-2)的值；
(2)若a=1，c=0，且|f(x)|≤1在区间(0，1]上恒成立，试求b的取值范围．

答案

解：(1)由已知c=1，f(-1)=a-b+c=0，且-=-1，解得a=1，b=2，
∴f(x)=(x+1)²，
∴F(x)=，
∴F(2)+F(-2)=(2+1)²+[-(-2+1)²]=8；
(2)由题知f(x)=x²+bx，原命题等价于-1≤x²+bx≤1在x∈(0，1]上恒成立，
即b≤-x且b≥--x在x∈(0，1]上恒成立，
根据单调性可得-x的最小值为0，--x的最大值为-2，
所以-2≤b≤0。