题目

题型：解答题难度：困难来源：北京高考真题

设y=f（x）是定义在区间[-1，1]上的函数，且满足条件：（i）f（-1）=f（1）=0；
（ii）对任意的u，v∈[-1，1]，都有|f（u）-f（v）|≤|u-v|。
（1）证明：对任意的x∈[-1，1]，都有x-1≤f（x）≤1-x；
（2）判断函数是否满足题设条件；
（3）在区间[-1，1]上是否存在满足题设条件的函数y=f（x），且使得对任意的u，v∈[-1，1]，都有|f（u）-f（v）|=u-v，若存在，请举一例；若不存在，请说明理由。

答案

解：（1）由题设条件可知，当时，有

即。
（2）函数g（x）满足题设条件，验证如下：

对任意的
当时，有
当时，同理有
当，不妨设
有
所以，函数g（x）满足题设条件。
（3）这样满足的函数不存在，理由如下：
假设存在函数f（x）满足条件，则由得
①
由于对任意的，都有
所以，②
①与②矛盾，因此假设不成立，即这样的函数不存在。