题目

题型：解答题难度：困难来源：北京高考真题

设y=f（x）是定义在区间[-1，1]上的函数，且满足条件：①f（-1）=f（1）=0；②对任意的u，v∈[-1，1]，都有|f（u）-f（v）|≤|u-v|。
（1）证明：对任意的x∈[-1，1]，都有x-1≤f（x）≤1-x；
（2）证明：对任意的u，v∈[-1，1]，都有|f（u）-f（v）|≤1-x；
（3）在区间[-1，1]上是否存在满足题设条件的奇函数y=f（x）且使得若存在请举一例，若不存在，请说明理由。

答案

解：（1）由题设条件可知，
当时，有

即。
（2）对任意的
当时，有
当时，
不妨设，则
从而有

综上可知，对任意的，都有。
（3）这样满足所述条件的函数不存在
理由如下：假设存在函数满足条件，则由
，得

又
所以 ①
又因为f（x）为奇函数，
所以
由条件，得

所以 ②
①与②矛盾，因此假设不成立，即这样的函数不存在。