题目
题型:解答题难度:困难来源:江苏同步题
设f(x)是定义在[a,b]上的函数,用分点T:a=x0<x1<…<x i﹣1<xi<…xn=b
将区间[a,b]任意划分成n个小区间,
如果存在一个常数M>0,使得
和≤M(i=1,2,…,n)恒成立,
则称f(x)为[a,b]上的有界变差函数.
(1)函数f(x)=x2在[0,1]上是否为有界变差函数?请说明理由;
(2)设函数f(x)是[a,b]上的单调递减函数,证明:f(x)为[a,b]上的有界变差函数;
(3)若定义在[a,b]上的函数f(x)满足:存在常数k,使得对于任意的x1、x2∈[a,b]时,|f(x1)﹣f(x2)|≤k|x1﹣x2|.证明:f(x)为[a,b]上的有界变差函数.
答案
∴对任意划分T,f(xn)>f(x n﹣1)|f(xi)﹣f(x i﹣1)|
=f(x1)﹣f(x0)+…+f(xn)﹣f(xn﹣1)
=f(1)﹣f(0)=1
取常数M≥1,则和式(i=1,2,3…n)恒成立
所以函数f(x)在[0,1]是有界变差函数
(2)∵函数f(x)是[a,b]上的单调递减函数任意的划分T,
a=x0<x1<…<x i﹣1<xi<…<xn=b
∴=f(x0)-f(x1)+ f(x1)-f(x2)+...+f(x n-1)-f(xn)
=f(a)- f(b)
∴一定存在一个常数M>0,使f(a)﹣f(b)≤M
故f(x)为[a,b]上有界变差函数
(3)∵|f(x1)﹣f(x2)|≤k|x1﹣x2|
∴对任意的划分T,a=x0<x1<…<x i﹣1<x i<…<xn
=b
==k(b﹣a)
取常数M=k(b﹣a)f(x)为有界变差函数.
核心考点
试题【设f(x)是定义在[a,b]上的函数,用分点T:a=x0<x1<…<x i﹣1<xi<…xn=b将区间[a,b]任意划分成n个小区间,如果存在一个常数M>0,使】;主要考察你对分段函数等知识点的理解。[详细]
举一反三
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