定义在R上的函数y=f（x），f（0）≠0当x＞0，f（x）＞1且对于任意的a，b∈R有，f（a+b）=f（a）f（b），（1）证明：f（0）=1．（2）证明： - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

定义在R上的函数y=f（x），f（0）≠0当x＞0，f（x）＞1且对于任意的a，b∈R有，f（a+b）=f（a）f（b），（1）证明：f（0）=1．（2）证明：对于任意的x∈R，恒有f（x）＞0．

答案

证明：（1）因为f（a+b）=f（a）f（b），
令式中a=b=0得：f（0）=f（0）f（0），因f（0）≠0，
所以等式两同时消去f（0），得：f（0）=1．
（2）令f（a+b）=f（a）f（b）中a=b=

，于是f（x）=f（0.5x）f（0.5x）=（f（0.5x））²≥0．
因为f（0）≠0，所以对于任意的x∈R，恒有f（x）＞0．

核心考点

试题【定义在R上的函数y=f（x），f（0）≠0当x＞0，f（x）＞1且对于任意的a，b∈R有，f（a+b）=f（a）f（b），（1）证明：f（0）=1．（2）证明：】；主要考察你对分段函数等知识点的理解。[详细]

举一反三

设函数f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y）（x，y∈R），求证：
（1）f（0）=0；
（2）f（3）=3f（1）；
（3）f(

f(1)．

题型：解答题难度：一般| 查看答案

在R⁺上定义一种运算“*”：对于a、b∈R⁺，有a*b=

logab 当a≥b时

ab 当a＜b时

，则方程2*x=8的解是x=______．

题型：填空题难度：一般| 查看答案

（2001•北京）若f（x）=a^x（a＞0且a≠1）对于任意实数x、y都有（　　）

A．f（xy）=f（x）•（y）

B．f（xy）=f（x）+（y）

C．f（x+y）=f（x）f（y）

D．f（x+y）=f（x）+f（y）

题型：单选题难度：一般| 查看答案

已知函数f（x）=|x+1|+|x-1|（x∈R）．
（1）证明：f（x）函数是偶函数；
（2）利用绝对值及分段函数知识，将函数解析式写成分段函数，然后在给定的坐标系中画出函数图象；
（3）写出函数的值域．魔方格

题型：解答题难度：一般| 查看答案

设f(x)=

2ex-1，x＜2

log3(x2-1)，x≥2.

则f(f(2))的值为（　　）

A．0

B．1

C．2

D．3

题型：单选题难度：简单| 查看答案

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