题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），且对任意的正实数x，y都有f（xy）=f（x）+f（y），且当x＞1时，f（x）＞0，f（4）=1，
（1）求证：f（1）=0；
（2）求f（

1

16

）；
（3）解不等式f（x）+f（x-3）≤1．

答案

（1）证明：令x=4，y=1，则f（4）=f（4×1）=f（4）+f（1）．
∴f（1）=0．
（2）f（16）=f（4×4）=f（4）+f（4）=2，f（1）=f（

1

16

×16）=f（

1

16

）+f（16）=0，
故f（

1

16

）=-2．
（3）设x₁，x₂＞0且x₁＞x₂，于是f（

x1

x2

）＞0，
∴f（x₁）=f（

x1

x2

×x₂）=f（

x1

x2

）+f（x₂）＞f（x₂）．
∴f（x）为x∈（0，+∞）上的增函数．
又∵f（x）+f（x-3）=f[x（x-3）]≤1=f（4），
∴

x＞0 x-3＞0 x(x-3)≤4

⇒3＜x≤4．
∴原不等式的解集为{x|3＜x≤4}．