题目
题型:解答题难度:一般来源:不详
(1)求f(1)的值;
(2)证明:对一切大于1的正整数t,恒有f(t)>t;
(3)试求满足f(t)=t的整数t的个数,并说明理由.
答案
x=y=-1得f(-2)=2f(-1)+2
而f(-2)=-2,∴f(-1)=-2
x=1,y=-1得f(0)=f(1)+f(-1)
∴f(1)=1.
(2)x=n,y=1得f(n+1)=f(n)+f(1)+n+1=f(n)+n+2
∴f(n+1)-f(n)=n+2,
∴当n∈N+时,f(n)=f(1)+[3+4++(n+1)]=
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而当n∈N+,且n>1时,n2+n-2>0,
∴f(n)>n,则对一切大于1的正整数t,恒有f(t)>t.
(3)∵y=-x时f(x-x)=f(x)+f(-x)+1-x2
∴f(x)=x2-2-f(-x)
∵当x∈N+时由(2)知f(x)=
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当x=0时,f(0)=-1=
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当x为负整数时,-x∈N+,则f(-x)=
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∴f(x)=x2-2-
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故对一切x∈Z时,有f(x)=
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∴当t∈Z时,由f(t)=t得t2+t-2=0,即t=1或t=2
∴满足f(t)=t的整数t有两个.
核心考点
试题【已知函数f(t)满足对任意实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)+xy+1,且f(-2)=-2.(1)求f(1)的值;(2)证明:对一切大于1的正整数t】;主要考察你对分段函数等知识点的理解。[详细]
举一反三
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对任意的[0,1]上的单峰函数f(x),下面研究缩短其含峰区间长度的方法.
(Ⅰ)证明:对任意的x1,x2∈(0,1),x1<x2,若f(x1)≥f(x2),则(0,x2)为含峰区间;若f(x1)≤f(x2),则(x1,1)为含峰区间;
(Ⅱ)对给定的r(0<r<0.5),证明:存在x1,x2∈(0,1),满足x2-x1≥2r,使得由(Ⅰ)确定的含峰区间的长度不大于0.5+r;
(Ⅲ)选取x1,x2∈(0,1),x1<x2由(Ⅰ)可确定含峰区间为(0,x2)或(x1,1),在所得的含峰区间内选取x3,由x3与x1或x3与x2类似地可确定是一个新的含峰区间.在第一次确定的含峰区间为(0,x2)的情况下,试确定x1,x2,x3的值,满足两两之差的绝对值不小于0.02且使得新的含峰区间的长度缩短到0.34.
(区间长度等于区间的右端点与左端点之差).
(1)求f(1)
(2)求证:f(x)为减函数.
(3)当f(4)=-2时,解不等式f(x-3)+f(5)≥-1.
(1)求证:1是函数f(x)的零点;
(2)判断f(x)在(0,+∞)上的单调性,并证明;
(3)若f(
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