题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

（1）研究函数f（x）=lnx-x的单调区间与极值．
（2）试探究f（x）=lnx-ax（a∈R）单调性．

答案

（1）f′（x）=

1

x

-1=

1-x

x

，
令f′（x）＜0得x＞1
令f′（x）＞0得0＜x＜1
所以函数f（x）=lnx-x的单调减区间是（1，+∞），单调递增区间是（0，1）．
∴f（x）在x=1处取得极大值-1，无极大值．
（2）f′（x）=

1

x

-a…（2分）
（Ⅰ）∵x＞0，所以当a≤0时，f′（x）=

1

x

-a＞0，f（x）在（0，+∞）是增函数…（4分）
当a＞0时，f（x）在（0，

1

a

）上f′（x）=

1

x

-a＞0，f（x）在（

1

a

，+∞）上f′（x）=

1

x

-a＜0，
故f（x）在（0，

1

a

）上是增函数，f（x）在（

1

a

，+∞）上是减函数．