题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

如果对于函数f（x）的定义域内任意的x₁，x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|成立，那么就称函数f（x）是定义域上的“平缓函数”．
（1）判断函数f（x）=x²-x，x∈[0，1]是否是“平缓函数”；
（2）若函数f（x）是闭区间[0，1]上的“平缓函数”，且f（0）=f（1）．证明：对于任意
的x₁，x₂∈[0，1]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤

1

2

成立．
（3）设a、m为实常数，m＞0．若f（x）=alnx是区间[m，+∞）上的“平缓函数”，试估计a的取值范围（用m表示，不必证明）．

答案

证明：（1）对于任意的x₁，x₂∈[0，1]，
      有-1≤x₁+x₂-1≤1，|x₁+x₂-1|≤1．（2分）
      从而|f（x₁）-f（x₂）|=|（x₁²-x₁）-（x₂²-x₂）|=|x₁-x₂||x₁+x₂-1|≤|x₁-x₂|．
∴函数f（x）=x²-x，x∈[0，1]是“平缓函数”．（4分）
（2）当|x₁-x₂|＜

1

2

时，由已知得|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|＜

1

2

；（6分）
     当|x₁-x₂|≥

1

2

时，因为x₁，x₂∈[0，1]，不妨设0≤x₁＜x₂≤1，其中x₁-x₂≤-

1

2

，
     因为f（0）=f（1），所以：
|f（x₁）-f（x₂）|=|f（x₁）-f（0）+f（1）-f（x₂）|≤|f（x₁）-f（0）|+|f（1）-f（x₂）|≤|x₁-0|+|1-x₂|=x₁-x₂+1≤-

1

2

+1=

1

2

．
    故对于任意的x₁，x₂∈[0，1]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤

1

2

成立．（10分）
（3）结合函数f（x）=alnx的图象性质及其在点x=m处的切线斜率，估计a的取值范围是闭区间[-m，m]．（注：只需直
     接给出正确结论）（14分）