定义在R上的函数y=f（x），f（0）≠0当x＞0，f（x）＞1且对于任意的a，b∈R有，f（a+b）=f（a）f（b），（1）证明：f（0）=1．（2）证明： - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

定义在R上的函数y=f（x），f（0）≠0当x＞0，f（x）＞1且对于任意的a，b∈R有，f（a+b）=f（a）f（b），（1）证明：f（0）=1．（2）证明：对于任意的x∈R，恒有f（x）＞0．

答案

证明：（1）因为f（a+b）=f（a）f（b），
令式中a=b=0得：f（0）=f（0）f（0），因f（0）≠0，
所以等式两同时消去f（0），得：f（0）=1．
（2）令f（a+b）=f（a）f（b）中a=b=

，于是f（x）=f（0.5x）f（0.5x）=（f（0.5x））²≥0．
因为f（0）≠0，所以对于任意的x∈R，恒有f（x）＞0．

核心考点

试题【定义在R上的函数y=f（x），f（0）≠0当x＞0，f（x）＞1且对于任意的a，b∈R有，f（a+b）=f（a）f（b），（1）证明：f（0）=1．（2）证明：】；主要考察你对分段函数等知识点的理解。[详细]

举一反三

已知f（x）=3^x，下列运算不正确的是（　　）

A．f（x）•f（y）=f（x+y）

B．

f(x)

f(y)

=f(x-y)

C．f（x）•f（y）=f（x•y）

D．f（log₃4）=4

题型：单选题难度：简单| 查看答案

设函数f（x）是定义域在（0，+∞），且对任意m，n∈（0，+∞）都有f（mn）=f（m）+f（n），f（4）=1，当x＞1时，恒有f（x）＞0
（1）求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数
（2）解不等式f（x+6）+f（x）＜2
（3）若∀x∈[4，16]，都有f（x）≤a，求实数a的取值范围

题型：解答题难度：一般| 查看答案

已知对∀x，y＞0，有f（x，x）=x，f（x，y）=f（y，x），（x+y）f（x，y）=yf（x，x+y）
（1）求f（1，4），f（2，8）的值；
（2）求f（1，n），f（2，2ⁿ），其中n∈N^*；
（3）求证：f（2，2ⁿ）＞f（1，n）对∀n∈N^*恒成立．

题型：解答题难度：一般| 查看答案

已知函数f(x)=

(3-a)x-3 (x≤7)

ax-6 (x＞7)

，数列a_n满足a_n=f（n）（n∈N^*），且a_n是递增数列，则实数a的取值范围是 ______

题型：填空题难度：一般| 查看答案

对实数a，b定义一种运算：a⊗b=n（n为常数），具有性质（a+1）⊗b=n+1，a⊗（b+1）=n-2．若1⊗1=2，则2011⊗2011=______．

题型：填空题难度：一般| 查看答案

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