题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

定义域为R的函数y=f（x）满足：
①f(x+

π

2

)=-f(x)；
②函数在[

π

12

，

7π

12

]的值域为[m，2]，并且∀x1，x2∈[

π

12

，

7π

12

]，当x₁＜x₂时恒有f（x₁）＜f（x₂）．
（1）求m的值；
（2）若f(

π

3

+x)=-f(

π

3

-x)，并且f(

π

4

sinx+

π

3

)＞0求满足条件的x的集合；
（3）设y=g（x）=2cos²x+sinx+m+2，若对于y在集合M中的每一个值，x在区间（0，π）上恰有两个不同的值与之对应，求集合M．

答案

（1）∵f(x+

π

2

)=-f(x)；∴f（x+π）=f（x），f（x）是以T=π的周期函数
而函数在[

π

12

，

7π

12

]的值域为[m，2]，并且∀x1，x2∈[

π

12

，

7π

12

]，当x₁＜x₂时恒有f（x₁）＜f（x₂）．
∴函数f（x）在[

π

12

，

7π

12

]上单调递增，而f(x+

π

2

)=-f(x)，∴m=-2
（2）∵f(

π

3

+x)=-f(

π

3

-x)，∴f（x）的图象关于点（

π

3

，0）对称
∵f(

π

4

sinx+

π

3

)＞0
∴

π

3

+kπ＜

π

4

sinx+

π

3

＜

5π

6

+kπ，而

π

12

≤

π

4

sinx+

π

3

≤

7π

12

则

π

3

＜

π

4

sinx+

π

3

≤

7π

12

∴0＜sinx≤1即满足条件的x的集合为{x|2kπ＜x＜π+2kπ，k∈Z}
（3）∵y=g（x）=2cos²x+sinx
∴y=g（x）=-2sin²x+sinx+2
令sinx=t∈（0，1）则y=-2t²+t+2
若对于y在集合M中的每一个值，x在区间（0，π）上恰有两个不同的值与之对应转化成h（t）=-2t²+t+2-y=0在（0，1）上只有一解
∴h（1）•h（0）=（1-y）（2-y）＜0
解得1＜y＜2
∴集合M={y|1＜y＜2}．