题目
题型:解答题难度:一般来源:西城区二模
(Ⅰ)判断下面两个函数是否具有性质P,并说明理由.
①y=ax(a>1); ②y=x3.
(Ⅱ)若函数f(x)具有性质P,且f(0)=f(n)=0(n>2,n∈N*),
求证:对任意i∈{1,2,3,…,n-1}有f(i)≤0;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,是否对任意x∈[0,n]均有f(x)≤0.若成立给出证明,若不成立给出反例.
答案
f(x-1)+f(x+1)-2f(x)=ax-1+ax+1-2ax=ax(
1 |
a |
因为a>1,ax(
1 |
a |
即f(x-1)+f(x+1)≥2f(x),
此函数为具有性质P.
②函数f(x)=x3不具有性质P.…(4分)
例如,当x=-1时,f(x-1)+f(x+1)=f(-2)+f(0)=-8,2f(x)=-2,…(5分)
所以,f(-2)+f(0)<f(-1),
此函数不具有性质P.
(Ⅱ)假设f(i)为f(1),f(2),…,f(n-1)中第一个大于0的值,…(6分)
则f(i)-f(i-1)>0,
因为函数f(x)具有性质P,
所以,对于任意n∈N*,均有f(n+1)-f(n)≥f(n)-f(n-1),
所以f(n)-f(n-1)≥f(n-1)-f(n-2)≥…≥f(i)-f(i-1)>0,
所以f(n)=[f(n)-f(n-1)]+…+[f(i+1)-f(i)]+f(i)>0,
与f(n)=0矛盾,
所以,对任意的i∈{1,2,3,…,n-1}有f(i)≤0.…(9分)
(Ⅲ)不成立.
例如f(x)=
|
证明:当x为有理数时,x-1,x+1均为有理数,f(x-1)+f(x+1)-2f(x)=(x-1)2+(x+1)2-2x2-n(x-1+x+1-2x)=2,
当x为无理数时,x-1,x+1均为无理数,f(x-1)+f(x+1)-2f(x)=(x-1)2+(x+1)2-2x2=2
所以,函数f(x)对任意的x∈R,均有f(x-1)+f(x+1)≥2f(x),
即函数f(x)具有性质P.…(12分)
而当x∈[0,n](n>2)且当x为无理数时,f(x)>0.
所以,在(Ⅱ)的条件下,“对任意x∈[0,n]均有f(x)≤0”不成立.…(13分)
(其他反例仿此给分.
如f(x)=
|
|
|
核心考点
试题【若函数f(x)对任意的x∈R,均有f(x-1)+f(x+1)≥2f(x),则称函数f(x)具有性质P.(Ⅰ)判断下面两个函数是否具有性质P,并说明理由.①y=a】;主要考察你对分段函数等知识点的理解。[详细]
举一反三
f(b)-f(a) |
b-a |
A.96 | B.64 | C.48 | D.24 |
2 |
①按上述规则操作三次后得到的最大新数c*=49; ②2008不是新数;
③c+1总能被2整除; ④c+1总能被10整除; ⑤499不可能是新数.
其中正确的说法是______.
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