题目
题型:解答题难度:简单来源:不详
(Ⅰ)求实数的值;
(Ⅱ)求函数在区间上的最大值;
(Ⅲ)若曲线上存在两点使得是以坐标原点为直角顶点的直角三角形,且斜边的中点在轴上,求实数的取值范围.
答案
当时在[-1,2]上的最大值为;(Ⅲ).
解析
试题分析:(Ⅰ)由题意先对时的函数进行求导,易得,解得;(Ⅱ)因为函数为分段函数,要求在区间上的最大值,需分别求区间和上的最大值,当时,应对函数进行求导,求函数的单调性,从而求区间上的最大值;当时,应对函数分两种情况讨论,可得结论;(Ⅲ)根据条件可知的横坐标互为相反数,不妨设,其中,若,则,由是直角,得,即,方程无解;若,则由于中的中点在轴上,且,所以点不可能在轴上,即同理有,,得的范围是.
试题解析:(I)当时,
因为函数图象在点处的切线方程为,
所以切点坐标为且解得. 4分
(II)由(I)得,当时,令,
可得或在和上单调递减,在上单调递增,所以在上的最大值为,当时,,
当时,恒成立此时在[-1,2]上的最大值为;
当时在[1,2]上单调递增,且,
令则,
所以当时在[-1,2]上的最大值为,
当时在[-1,2]上的最大值为,
综上可知,当时在[-1,2]上的最大值为2,
时当时在[-1,2]上的最大值为. 9分
(III)根据条件可知的横坐标互为相反数,
不妨设,其中,
若,则,由是直角,得,即,
即此方程无解;
若,则由于中的中点在轴上,且,所以点不可能在轴上,
即同理有,,
令由于函数的值域是
所以实数的取值范围是 14分
核心考点
试题【已知函数的图像在点处的切线方程为.(Ⅰ)求实数的值;(Ⅱ)求函数在区间上的最大值;(Ⅲ)若曲线上存在两点使得是以坐标原点为直角顶点的直角三角形,且斜边的中点在轴】;主要考察你对分段函数等知识点的理解。[详细]
举一反三
A.±4 | B.±8 | C.±6 | D.±2 |
A. | B. | C. | D. |
A. | B. | C. | D. |
A.第一象限 | B.第二象限 | C.第三象限 | D.第四象限 |
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