题目

题型：解答题难度：一般来源：同步题

已知函数对任意的实数a，b，都有f(ab)=f(a)+f(b)成立，
(1)求f(0)，f(1)的值；
(2)求证：f()+f(x)=0(x≠0)；
(3)若f(2)=m，f(3)=n（m，n均为常数），求f(36)的值．

答案

解：(1)不妨设a=b=0，则有f(0×0)=f(0)+f(0)，从而得f(0)=0；
设a=b=1，则应有f(1×1)=f(1)+f(1)，∴f(1)=0．
(2)证明：当x≠0时，注意到x·=1，
于是f(1)==f(x)+f()，
而f(1)=0，
所以f()+f(x)=0（x≠0）．
(3)题设中有f(2)=m，f(3)=n，
因此需将36转化，注意到36=2²×3²，
因此，f(36)=f(2²×3²)=f(2²)+f(3²)
=f(2×2)+f(3×3)=f(2)+f(2)+f(3)+f(3)=2f(2)+2f(3)=2(m+n)。