题目
题型:解答题难度:一般来源:同步题
(1)求f(1)和f(-1)的值;
(2)试判断f(x)的奇偶性,并加以证明;
(3)若x≥0时f(x)为增函数,求满足不等式f(x+1)-f(2-x)≤0的x的取值集合。
答案
∴f(1)=0
令x=y=-1,得f(1)=f(-1)+f(-1)
∴f(-1)=0。
(2)令y=-1,由f(xy)=f(x)+f(y),得 f(-x)=f(x)+f(-1)
又f(-1)=0,
∴f(-x)=f(x),
又f(x)不恒为0,
∴f(x)为偶函数。
(3)由f(x+1)-f(2-x)≤0,知f(x+1)≤f(2-x)
又由(2)知f(x)=f(|x|),
∴f(|x+1|)≤f(|2-x|)
又∵f(x)在[0,+∞)上为增函数,
∴|x+1|≤|2-x|
故x的取值集合为。
核心考点
试题【定义在R上的函数f(x)满足对任意x、y∈R恒有f(xy)=f(x)+f(y),且f(x)不恒为0。(1)求f(1)和f(-1)的值;(2)试判断f(x)的奇偶】;主要考察你对函数定义域等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求函数g(x)的值域;
(2)求满足方程f(x)-g(x)=0的x的值。
(Ⅰ)求实数b的值;
(Ⅱ)求函数f(x)的单调区间;
(Ⅲ)当a=1时,是否同时存在实数m和M(m<M),使得对每一个t∈[m,M],直线y=t与曲线y=f(x)(x∈[,e])都有公共点?若存在,求出最小的实数m和最大的实数M;若不存在,说明理由.
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