题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知二次函数f（x）=ax²+bx，且f（x+1）为偶函数，定义：满足f（x）=x的实数x称为函数f（x）的“不动点”，若函数f（x）有且仅有一个不动点，
（1）求f（x）的解析式；
（2）若函数g（x）=f（x）+

k

x

+

1

2

x²在 （0，

6

3

]上是单调减函数，求实数k的取值范围；
（3）在（2）的条件下，是否存在区间[m，n]（m＜n），使得f（x）在区间[m，n]上的值域为[km，kn]？若存在，请求出区间[m，n]；若不存在，请说明理由．

答案

（1）f（x+1）=a（x+1）²+b（x+1）=ax²+（2a+b）x+a+b为偶函数，
∴2a+b=0，∴b=-2a，
∴f（x）=ax²-2ax，（2分）
∵函数f（x）有且仅有一个不动点，
∴方程f（x）=x有且仅有一个解，
∴ax²-（2a+1）x=0有且仅有一个解，
∴2a+1=0，a=-

1

2

，
∴f（x）=-

1

2

x²+x（5分）
（2）g（x）=f（x）+

k

x

+

1

2

x²=x+

k

x

在（0，

6

3

]上是单调减函数，
当k≤0时，g（x）=x+

k

x

在（0，+∞）上是单调增函数，
∴不成立；（7分）
当k＞0时，g（x）=x+

k

x

在（0，

k

]上是单调减函数，
∴

6

3

≤

k

，
∴k≥

2

3

（10分）
（3）∵f（x）=-

1

2

x²+x=-

1

2

（x-1）²+

1

2

≤

1

2

，
∴kn≤

1

2

，
∴n≤

1

2k

≤

3

4

＜1，
∴f（x）在区间[m，n]上是单调增函数（11分）
∴

f(m)=km f(n)=kn

，即

- 1 2 m2+m=km - 1 2 n2+n=kn

，
方程-

1

2

x2+x=kx的两根为0，2-2k（12分）
当2-2k＞0，即

2

3

≤k＜1时，[m，n]=[0，2-2k]（13分）
当2-2k＜0，即k＞1时，[m，n]=[2-2k，0]（14分）
当2-2k=0，即k=1时，[m，n]不存在（16分）