题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知二次函数f（x）=x²-16x+p+3．
（1）若函数在区间[-1，1]上存在零点，求实数p的取值范围；
（2）问是否存在常数q（q≥0），当x∈[q，10]时，f（x）的值域为区间D，且D的长度为12-q．（注：区间[a，b]（a＜b）的长度为b-a）．

答案

（1）∵二次函数f（x）=x²-16x+p+3的对称轴是x=8，
∴函数f（x）在区间[-1，1]上单调递减，
则函数f（x）在区间[-1，1]上存在零点须满足f（-1）•f（1）≤0．
即（1+16+p+3）（1-16+p+3）≤0，解得-20≤p≤12．
（2）假设存在常数q（q≥0）满足题意，分三种情况求
①当

q＜8 8-q≥10-8 q≥0

时，即0≤q≤6时，
当x=8时，取到最小值f（8）；当x=q时，取到最大值f（q），
∴f（x）的值域为：[f（8），f（q）]，即[p-61，q²-16q+p+3]．
∴区间长度为q²-16q+p+3-（p-61）=q²-16q+64=12-q．
∴q²-15q+52=0，∴q=

15± 17

2

，经检验q=

15+ 17

2

不合题意，舍去，故q=

15- 17

2

．
②当

q＜8 8-q＜10-8 q≥0

时，即6≤q＜8时，
当x=8时，取到最小值f（8）；当x=10时，取到最大值f（10），
∴f（x）的值域为：[f（8），f（10）]，即[p-61，p-57]
∴区间长度为p-57-（p-61）=4=12-q，∴q=8．经检验q=8不合题意，舍去．
③当q≥8时，函数f（x）在[q，10]上单调递增，
∴f（x）的值域为：[f（q），f（10）]，即[q²-16q+p+3，p-57]．
∴区间长度为p-57-（q²-16q+p+3）=-q²-16q-60=12-q，
∴q²-17q+72=0，∴q=8或q=9．经检验q=8或q=9满足题意．
综上知，存在常数q=8或q=9，q=

15- 17

2

当x∈[q，10]时，f（x）的值域为区间D，且D的长度为12-q．