题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知f（x）=log₂x，当点M（x，y）在y=f（x）的图象上运动时，点N（x-2，ny）函数y=g_n（x）的图象上运动（n∈N^*）．
（1）求y=g_n（x）的表达式．
（2）若集合A={a|关于x的方程 4g₁（x）=g₂（x-2+a）有实根，a∈R}，求集合A
（3）设Hn(x)=(

1

2

)gn(x)，函数F（x）=H₁（x）-g₁（x）的定义域为0＜a≤x≤b，值域为[log2

5 2

b+2

，log2

4 2

a+2

]，求实数a，b的值．

答案

（1）据题设，得点N（x-2，ny）函数y=g_n（x）的图象上运动且y=log₂x，
得g_n（x-2）=nlog₂x（x＞0）∴g_n（x）=nlog₂（x+2）（x＞-2，n∈N^*）
（2）据题设，得：方程4log₂（x+2）=2log₂（x+a）有实根
即：（x+2）²=x+a（x＞-2）有实根∴a=x2+3x+4≥

7

4

∴A=[

7

4

，+∞)
（3）据题设，有F(x)=

1

x+2

-log2(x+2)（x＞-2），
∵

1

x+2

和-log₂（x+2）分别是（-2，+∞）上的减函数，
∴F（x）在（-2，+∞）上是减函数，
∴F（x）区间[a，b]上的值域为[F（b），F（a）]；

∴ F(a)=log2 4 2 a+2 F(b)=log2 5 2 b+2

∴a=2，b=3