对于函数y=f（x）（x∈D）若同时满足下列两个条件，则称f（x）为D上的闭函数．①f（x）在D上为单调函数；②存在闭区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b] - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

对于函数y=f（x）（x∈D）若同时满足下列两个条件，则称f（x）为D上的闭函数．
①f（x）在D上为单调函数；
②存在闭区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域也是[a，b]．
（1）求闭函数y=-x³符合上述条件的区间[a，b]；
（2）若f（x）=x³-3x²-9x+4，判断f（x）是否为闭函数．

答案

（1）∵y=-x³，∴y′=-3x²≤0．
∴函数y=-x³为减函数．
故

f(a)=b

f(b)=a

即

-3a3=b

-3b3=a.

∴

a=-1

b=-1.

所求闭区间为[-1，1]．
（2）f′（x）=3x²-6x-9．
由f′（x）≥0，得x≥3或x≤-1．
由f′（x）≤0，得-1≤x≤3．
∴f（x）在定义域内不是单调函数．
故f（x）不是闭函数．

核心考点

试题【对于函数y=f（x）（x∈D）若同时满足下列两个条件，则称f（x）为D上的闭函数．①f（x）在D上为单调函数；②存在闭区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]】；主要考察你对函数定义域等知识点的理解。[详细]

举一反三

对于定义域为D的函数f（x），若存在区间M=[a，b]⊆D（a＜b），使得{y|y=f（x），x∈M}=M，则称区间M为函数f（x）的“等值区间”．给出下列四个函数：
①f（x）=2^x；②f（x）=x³；③f（x）=sinx；④f（x）=log₂x+1．
则存在“等值区间”的函数的个数是（　　）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

题型：单选题难度：一般| 查看答案

已知M（-3，0）﹑N（3，0），P为坐标平面上的动点，且直线PM与直线PN的斜率之积为常数m（m≥-1，m≠0）．
（1）求P点的轨迹方程并讨论轨迹是什么曲线？
（2）若m=-

，P点的轨迹为曲线C，过点Q（2，0）斜率为k₁的直线ℓ₁与曲线C交于不同的两点A﹑B，AB中点为R，直线OR（O为坐标原点）的斜率为k₂，求证k₁k₂为定值；
（3）在（2）的条件下，设

=λ

，且λ∈[2，3]，求ℓ₁在y轴上的截距的变化范围．

题型：解答题难度：一般| 查看答案

函数f（x）定义域为C，若满足①f（x）在C内是单调函数；②存在[m，n]⊆D使f（x）在[m，n]上的值域为[

，

]，那么就称y=f（x）为“希望函数”，若函数f（x）=log_a（a^x+t）（a＞0，a≠1）是“希望函数”，则t取值范围为______．

题型：填空题难度：一般| 查看答案

对于函数y=f（x），x∈D，若同时满足以下条件：
①函数f（x）是D上的单调函数；
②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域也是[a，b]，
则称函数f（x）是闭函数．
（1）判断函数f(x)=2x+

，x∈[1，10]；g（x）=-x³，x∈R是不是闭函数，并说明理由；
（2）若函数f(x)=

x+2

+k，x∈[-2，+∞）是闭函数，求实数k的取值范围．

题型：解答题难度：一般| 查看答案

已知函数f（x）=x²，（x∈[-2，2]），g(x)=a2sin(2x+

)+3a，x∈[0，

]，∀x₁∈[-2，2]，总∃x0∈[0，

]，使得g(x0)=f(

)成立，则实数a的取值范围是______．

题型：填空题难度：一般| 查看答案

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